Comentários Incompletos sobre a Prova da Incompletude
(ou o
génio de Kurt Godel…)
Em lógica pura de primeira ordem a verdade
das proposições é relativa ao conjunto de regras sintácticas que compõem o
sistema de onde essas proposições emanam. Por outras palavras: definido o
sistema formal, o que implica definir os signos e seu valor e as regras da sua
utilização, ficam determinadas as condições da validade sintáctica.
Elaborado o conjunto das proposições
consideradas axiomáticas, ou seja, aquelas cuja validade ou é intuitivamente evidente
ou é deduzida (provada) de outro sistema axiomático, podem seguidamente deduzir-se
dos axiomas os teoremas, que são deduzidos na obediência estrita às regras
sintácticas ou combinatórias. Todas as teorias matemáticas são baseadas em
axiomas, mesmo aquelas que, tendo entrado no uso comum, são utilizadas na sua
vertente operativa sem qualquer referência aos axiomas que as sustentam. Depois
do
matemático Guiseppe Peano,
em 1901, ter apresentado os cinco axiomas que, segundo ele, eram a base axiomática de todo
o sistema dos números naturais, o sistema continuou a ser intensamente utilizado,
como até ali, na total
ignorância desses axiomas, garantes da fiabilidade lógica do sistema.
Os sistemas formais, ou de lógica pura, não
são concebidos para serem descritivos da realidade física, antes pretendem
fixar em símbolos alguns elementos formais e operações combinatórias ou
relações lógicas que preenchem o pensamento. Como tal, as proposições elaboradas
no âmbito destes sistemas não são julgadas pela sua verdade semântica em
relação a entidades físicas concretas, como o seriam se fossem teorias
científicas, mas sim, como ficou dito acima, em relação à validade sintáctica
ou rigor dedutivo com que foram elaboradas.
Mas é também essa sua natureza abstracta,
formal e sem conteúdo descritivo ou referencial que torna possível “preencher”
alguns dos constituintes dessas proposições, como as variáveis, as constantes
ou os predicados por qualquer tipo de objectos ou conteúdos.
Vejamos o caso da proposição (x)P(x), cujo significado estritamente lógico será “dado
um qualquer x, P é uma propriedade de x” tanto pode significar “dada uma alface, ser verde é uma
propriedade da alface” como “todos os seres humanos são mortais” (ou seja, dado
qualquer ser humano, a mortalidade é uma propriedade desse ser).
Assim, a única vertente semântica própria
destes sistemas eminentemente formais é o sentido que possam ter as próprias
regras lógicas que regem o sistema. Para os Platonistas, este sentido da
“verdade” das regras lógicas, que parece impor-se ao pensamento, é dado, e
garantido, pelas Ideias. É da contemplação das Ideias que a inteligência ou
intuição retiram os axiomas fundadores e os critérios de orientação da sintaxe
lógica. Mas para um empirista lógico,
ou um positivista lógico (assim se
identificavam os intelectuais que rodeavam Godel, no círculo de Viena), este tipo de sentido,
que é inerentemente “metafísico”, não existe. Essas Ideias também não existem.
O que existe, afirmam eles, está dentro da realidade objectiva que nos é dada
pelos sentidos, pela experiência.
Portanto,
para estes empiristas, toda a Lógica se resume a uma sintaxe convencionada que
regula as relações entre conceitos que a faculdade racional permitiu abstrair da
experiência sensível. A Lógica existe apenas como um conjunto de representações
mentais, que utilizamos na linguagem como no pensamento, mas não exprime,
descreve, ou refere qualquer conteúdo cognitivo sobre o mundo real ou sobre
alegados modelos metafísicos.
Um sistema formal será considerado consistente se nenhuma das proposições
deduzidas no seu domínio combinatório de referência for contraditória. A proposição contraditória mais não é que o
diabólico “paradoxo”, que desde os
tempos remotos de Zenão de Eleia ensombra as
expectativas optimistas dos formalistas
e l
ogicistas de todos os tempos que pugnaram, e
pugnam, pela pura formalidade.
Um sistema formal será considerado completo se a verdade de todas as suas
proposições (axiomas ou teoremas) puder ser provada dentro do próprio
sistema.
A consistência
e completude
dos sistemas lógicos foram as características almejadas pelo esforço de
ilustres matemáticos e lógicos que, quer durante o século XIX, quer no século
XX, reuniram esforços para resolver alguns dos paradoxos ou enigmas que
contaminavam alguns dos sistemas e teorias lógico-matemáticas.
Foi o famoso matemático David Hilbert quem tocou a rebate para essa
exaltante e arrebatadora tarefa de percorrer e mapear todos os
mares da Lógica e da Matemática. Se a Lógica é o domínio puro do pensamento,
como Hilbert
julgava, essa pura formalidade não podia encerrar obstáculos estranhos à mente
nem "Adamastores"….
David Hilbert
“Em Lógica não há ignorabimus”,
afirmou enfaticamente Hilbert
na sua célebre comunicação ao Segundo Congresso Internacional de Matemáticos,
em Paris, no ano de 1900. Nessa solene comunicação em início de século, Hilbert toma a iniciativa de enumerar
os 23 problemas que ele julgava serem os maiores desafios e os problemas de mais
premente e necessária solução nas décadas seguintes. O primeiro desses problemas era produzir a prova
da validade da hipótese do continuum de Cantor.
Kurt Godel, que parecia destinado a gerar profundas desilusões a
muitos dos seus colegas do Círculo de
Viena, fossem eles logicistas
ou formalistas, veio a demonstrar, juntamente
com Paul Cohen,
que não era possível provar a validade ou a falsidade dessa hipótese, no âmbito
das capacidades combinatórias do sistema dos conjuntos, de Cantor, de onde essa
hipótese é inferida. Eis, desde logo, a primeira situação em que, contrariando
as expectativas optimistas de Hilbert, se manteve, pelo menos por mais algum tempo, um ignorabimus em relação a um tema específico da área da Matematica.
Numerosos pensadores, e entre eles algumas
das figuras gradas do já referido Positivismo
Lógico, meteram-se ao trabalho, ansiando por resolver os problemas listados
por Hilbert.
Pr
etendiam também delimitar a lógica, como se disse já anteriormente, a um
formalismo total. Foi neste ambiente intelectual que Godel
se formou, primeiro como estudante e mais tarde como membro do
Circulo, que se reunia regularmente nos cafés de Viena e promovia sessões
públicas de trabalho intelectual.
A tese de licenciatura de Godel não podia deixar de versar algum dos temas mais discutidos
no Círculo de Viena.
Não surpreende que Godel tenha escolhido para tema da sua dissertação apresentar a prova da completude dos sistemas de lógica pura, ou cálculo predicativo, embora fosse um assunto que era dado como garantido, porventura pouco profícuo atendendo até a que a sua consistência havia sido já anteriormente provada. No entanto, algumas das surpresas que Godel acabou por trazer a lume tiveram o seu prenúncio, como iremos ver mais adiante, neste seu primeiro trabalho académico.
Godel e seu amigo Einstein
Passemos agora em revista os tópicos
principais de um sistema de lógica pura, também chamada de lógica
quantificacional, em que as proposições são despidas de qualquer conteúdo não
formal.
O modelo de um sistema formal, também
chamado interpretação, consiste num conjunto de elementos:
- um “universo do
discurso”, ou seja, um domínio de indivíduos,
quer representados por variáveis, quer por constantes,
- um conjunto de predicados, sua representação simbólica
e significado
- as relações entre os elementos acima, e
sua representação simbólica
A estes elementos constituintes não lógicos acrescem os elementos
especificamente lógicos, ou seja:
-os signos representativos de operações e conexões lógicas e dos determinantes quantitativos como um, algum, qualquer, nenhum, todos.
Exemplos:
“Um indivíduo” será representado pelas
constantes a, b, ou por variáveis x, y.
“Qualquer” ou “Todos os indivíduos” serão
representados pelos signos acima, envolvidos em parênteses (). Os predicados serão representados por P, Q, e as relações serão
representadas por R. Além destes signos, temos os seguintes operadores lógicos:
-> se… então (if..then)
<->
se, e apenas se…
€ existe
( ) todos,
qualquer
= igual
& …e….
Podemos
agora “escrever” proposições como: Carnap e Sclick, membros do circulo
de Viena
€ x P
x existe
um indivíduo x
tal que a propriedade P é dele
ou
um
indivíduo x
tem a propriedade P
(x) P(x) dado
qualquer x,
P é propriedade de x
R(a b) dados os
indivíduos a e b, estes têm uma relação R
(x) (P(x) & Q(x)) -> Q(x)
Dado qualquer x, se x tem a
propriedade P e se x tem a
propriedade de Q, então
x tem a propriedade de Q.
(x)(y)
((x=y) -> (P(x) <-> P(y)))
Para qualquer x, para qualquer
y, se x=y então x tem a
propriedade P se, e só se, y tiver a
propriedade P.
Como dissemos antes,
nada nos impede de atribuir um significado qualquer ás variáveis e constantes de
uma proposição deste tipo. Tomando como exemplo a proposição anterior, ela pode
ser lida como:
- dado “eu”, e dado “o autor deste texto”, se “eu” sou “o autor deste texto”,
então “eu” só sou Positivista Lógico se o “autor deste texto” for Positivista
Lógico.
Acontece que esta
proposição, de validade formal suficientemente garantida pela sua correcta sintaxe,
até é, neste caso específico, verdadeira em termos factuais… De facto, alguém
que leia este texto poderá reconhecer se eu sou, ou não, Positivista Lógico.
Mas essa veracidade factual da proposição, esse valor semântico é, apenas e só,
uma mera consequência de os termos com que substituímos as variáveis serem
plausíveis, o que é uma coincidência e não um resultado da sua validade formal
e lógica.
Bastará substituir
aquelas variáveis por algo diferente, para daí poder resultar uma proposição com
pouco, ou nenhum sentido nem valor semântico concreto, apesar de se manter
inalterada a sua validade formal.
Exemplo: -se as estrelas são luzes no céu, então as
estrelas são pirilampos se e só se as luzes no céu forem pirilampos.
Convém agora lembrar
que só os sistemas consistentes, ou
seja, os que têm axiomas e regras de dedução tais que não integram, nem
produzem, paradoxos ou proposições contraditórias, oferecem
dificuldades na produção da prova da completude. Os sistemas inconsistentes,
pelo contrário, têm completude a mais, ou seja, admitem “provas” até
em excesso, porque tudo pode ser “provado” num contexto inconsistente, pejado
de contradições e paradoxos.
Quando Godel apresentou a sua dissertação de doutoramento com a
prova da completude
dos 
sistemas de lógica
pura, trabalhou com um sistema e proposições semelhantes ao que exemplificámos
acima.
E dada a
simplicidade e formalidade desses sistemas, julgar-se-ia que tal tarefa
exigiria pouco esforço combinatório. Porém, tal não aconteceu!!! E Godel, que obviamente se apercebeu, e foi surpreendido,
pelas dificuldades que teve de enfrentar, logo pensou e alvitrou que haveria
uma forte probabilidade, contra muitas opiniões correntes, de ser impossível
provar a completude
de sistemas que fossem mais complexos, ou seja, menos formais e com mais
conteúdo referente a elementos mais concretos. Mas nenhum dos seus colegas ou contemporâneo
se alarmou. Ninguém se preocupou, sequer, com esta possibilidade… Embalados nas
suas convicções filosóficas, não se aperceberam de nada. Mais tarde, quando Godel provou essa impossibilidade, a incompreensão e o
espanto precederam as conclusões devastadoras que tal impossibilidade trazia ao
logicismo e ao formalismo.
Lembremos que Hilbert tinha
incluído na sua lista de “problemas a resolver” a elaboração da prova da completude de sistemas lógico-matemáticos.
Para começar, essa prova deveria ser produzida para o sistema lógico subjacente
à formação dos números, um sistema indubitavelmente formal, mas enriquecido com
os axiomas da aritmética.
Apesar de tudo, era
um começo humilde e cuidadoso... A primeira prova referia-se à mais simples das áreas da matemática,
o sistema aritmético…
E como os números
são concretos e o seu sistema funciona bem, de há milénios para cá, naturalmente o seu modelo formal era visto como inquestionavelmente
consistente e seria, com toda a probabilidade, também completo.
David Hilbert Em 26 de Agosto de 1930, algumas semanas antes de participar na conferência de Konigsberg sobre “A Epistemologia das Ciências Exactas”, em que
apresentou o seu
(posteriormente famoso) trabalho sobre a Incompletude,
Godel reuniu-se no café Reichsrat,
em Viena, com Carnap, Feigl e Waisman, tendo confidenciado a Carnap parte da sua descoberta.
No entanto, mesmo Carnap, que é assim avisado e tem
algum tempo para ponderar as façanhas de Godel, comparece
na Conferência totalmente absorto nas suas anteriores congeminações e apresenta
uma comunicação “As principais Ideias do Logicismo”, onde reforça a sua posição
de sempre. Insiste novamente na imperatividade da consistência dos sistemas
lógicos e afirma que todas as verdades matemáticas podem ser reduzidas a
tautologias lógicas, em nada dependendo da intuição meta-lógica
ou metafísica. Assim, descurou totalmente a questão da possível prova da incompletude produzida pelo
seu amigo Godel, prova que iria contrariar, senão
mesmo refutar, a sua visão dos sistemas formais, que considerava
necessariamente expurgados de qualquer paradoxo ou elemento não racional,
paradoxo esse que reaparecia no cerne do teorema da incompletude, e gerado pela
própria sintaxe do sistema.
Alguma razão tem Thomas Kuhn para afirmar no seu livro “A
estrutura das Revoluções Científicas” que “em ciência…a novidade só emerge
com dificuldade, dificuldade que se manifesta na forma de uma resistência filha das expectativas que
constituem o pano de fundo. Inicialmente, apenas é experimentado aquilo que
é já antecipado e usual, mesmo que em circunstâncias onde se já vêem, ou
preanunciam, as anomalias que mais cedo ou mais tarde são irrecusavelmente
detectadas.”
A comunicação de Godel, apresentada no segundo dia da Conferência, com a
prova da completude do sistema de cálculo predicativo
foi recebida com esperada indiferença pois, como já foi dito, a produção dessa
prova coincidia com as expectativas gerais. No dia seguinte, porém, um dia
destinado a debates sobre os temas já apresentados, Godel fez então uma brevíssima intervenção, onde afirmou
que era possível provar a incompletude de sistemas formais. Esta tão
surpreendente quanto fugaz revelação foi recebida em silêncio pelos ilustres
Conferencistas de Konisgberg, parecendo que todos se
encontravam atordoados com o seu próprio ruído argumentativo e se sentiam incapazes
de reconhecer a relevância do trabalho que Godel aí
anunciava... Um ano mais tarde, em 1931, ano em que publicou o seu famoso
trabalho, ainda Carnap
refere no seu diário: “Godel esteve hoje aqui. Acerca
do seu trabalho, digo que é muito difícil de entender”.
No entanto, o seu
trabalho tinha uma perspectiva geral relativamente acessível, como Godel explicou numa carta, “penso que o meu teorema (…)
trata do facto que não é possível dar uma completa descrição epistemológica da
linguagem A utilizando para isso apenas a própria linguagem A, porque o
conceito de verdade das proposições construídas na linguagem A não pode ser definido
nessa linguagem. Este teorema é que é a verdadeira causa da existência de
proposições cuja verdade ou falsidade não pode ser decidida, ou provada, em
sistemas formais que contêm aritmética.
A questão, mais
filosófica que lógica porque tem mais a ver com a verdade que com a provabilidade, a que Godel aqui se
refere veio mais tarde a ser enunciada no chamado Teorema de Tarski, que diz: o conceito de “proposição aritmética
verdadeira” não é definível em termos aritméticos. Ora esta descoberta foi
realizada por Godel, quando explorou o sentido das
proposições aritméticas recursivas e
iterativas (repetitivas).
Mas a questão mais
formal da provabilidade era, na faceta da consistência
dos sistemas, ou na da sua completude, o que lhe
interessava, em 1931, realçar. E, numa outra carta, Godel vem esclarecer as causas da dificuldade que os seus
colegas e contemporâneos tiveram, nessa época, em entender o seu trabalho,
quando ele foi publicado:”embora pareça surpreendente, esta cegueira não parece
difícil de perceber. A sua causa radica na abrangente ausência de uma atitude
epistemológica correcta para com a meta-matemática e o raciocínio não finitarista. À época, quase todos
julgavam que o raciocínio meta-matemático que
incluísse elementos infinitos era
algo sem sentido, a menos que essas
proposições pudessem ser traduzidas ou interpretadas em termos de meta-matemática finita, ou finitarista. (De notar que esta
doutrina ficou refutada, na sua quase totalidade, pelas 
consequências dos
resultados que obtive e do trabalho subsequente).
Segundo esta tese, a meta-matemática
finita é a única que tem, de facto, sentido, e aquela a partir da qual os
símbolos matemáticos (em si mesmos sem conteúdo particular, pois são meramente
formais) adquirem, finalmente, algum sentido, através das regras de uso a que
ficam sujeitos.
Como é óbvio, a
essência desta perspectiva é uma
rejeição de todo e qualquer tipo de objectos abstractos ou infinitos.
No entanto, os símbolos matemáticos mais não são,
afinal, que um prima facie desses objectos abstractos
e infinitos, e as suas instâncias”.
Godel e Einstein, em Princeton
Ora bem… Godel deixa aqui um testemunho que dificilmente poderemos
deixar de identificar como o de um Platonista. Ele
afirma a intuição intelectual e imediata
dos Modelos, objectos abstractos e infinitos que crê poder ir conhecendo, sendo desde logo expressão desse
conhecimento, desde tempos imemoriais, o nascimento e desenvolvimento de toda a
lógica matemática, aquela lógica onde os empiristas e logicistas
só viam tautologia, proposições de rigor formal e vazio, ou uma ilusão cobrindo
a simples e total ausência de sentido concreto, espelhada na impossível
verificação da verdade das proposições. Para Godel,
porém, era possível o que para outros era impensável: produzir, por exemplo,
proposições aritmeticamente verdadeiras (resultantes dessa intuição ou visão intelectual) mas cuja verdade,
porque não foi deduzida, não conseguimos
provar no interior do sistema formal aritmético, recorrendo aos axiomas e regras
combinatórias que terão estado na origem dessas mesmas proposições, para com esses
axiomas e regras produzir a prova da sua verdade.
Para Godel, as regras
sintácticas dos sistemas formais, inventadas para manter afastado o
paradoxo e as contradições, não esgotam ou capturam, no seu sentido meta-matemático e capacidade combinatória, todas as
verdades geradas nesse sistema, ou sobre esse sistema, incluindo a verdade da consistência do próprio sistema.
Concomitantemente à possibilidade de intuir Ideias, Godel
admite a possibilidade do paradoxo,
que o formalismo de Hilbert queria
ver escorraçada da Matemática, mas que ele considerava um preço acessível, que
pagaria com gosto, se tal fosse necessário, para poder garantir o acesso à intuição de formas num espaço metafísico
próprio, sendo os paradoxos a consequência necessária da transposição ou
representação destas Formas em sistemas já imperfeitos, mesmo que aspirando, na
sua rigorosa e ascética formalidade, à perfeição. O paradoxo, com os teoremas da incompletude de Godel,
assentou arraiais no cerne da lógica-matemática...
Mas também ganhou raízes a possibilidade dessa intuição meta-matemática
frutuosa, sobre modelos de misteriosa mas fecunda infinitude. Godel
pôs um limite ao fácil e estafado argumento da tautologia…
Não se pense que esta
questão deixou de ser actual… Alguns aspectos da obra de Godel
têm uma contextualização histórica mais restrita, e quiçá pouco relevante nos
dias de hoje.
Mas alguns dos temas
que tratou mantêm-se bem actuais, nomeadamente na actividade de produção de
software, como se pode ver nos comentários abaixo:
“Os métodos formais são técnicas de
concepção de sistemas (system design) que usam
modelos matemáticos rigorosamente especificados para criar sistemas de
“software” e “hardware”. Em contraste com os outros processos existentes, os
métodos formais usam a prova matemática como um complemento ao “teste dos
sistemas”. Este “Teste dos sistemas” é o processo normalmente utilizado pelos
engenheiros para atingir um correcto funcionamento dos sistemas criados.
No entanto, à medida
que os sistemas se tornam mais complexos, e a segurança e fiabilidade dos seus
processos se torna num problema mais premente e difícil de resolver, a
utilização dos métodos formais oferecem um outro nível de resposta. E porquê?
Porque neste processo os princípios básicos
do sistema são sujeitos a esquemas de verificação formal e só obtida a prova da
sua validade são aceites e integrados no sistema em construção.
Ora o sistema
tradicional, que se baseia no uso
exaustivo de testes de funcionamento para provar a validade do sistema, só
pode retirar conclusões finitas. Ou
seja, os testes asseguram que os sistemas não falham nas situações testadas,
mas nada dizem sobre o comportamento do sistema em situações estranhas ou não
incluídas nos cenários dos testes efectuados. Em contraste, assim que um
teorema é provado, permanece válido em
quaisquer circunstâncias.”
Que fique aqui registada esta constatação
científica da engenharia de sistemas computacionais sobre as limitações do finitarismo
lógico, contra as quais, e contra quase todos, Godel
combateu toda a vida.
Também ficou já dito acima que produzir
prova, nos sistemas matemáticos, pode ser um trabalho penoso, exigindo grande
esforço combinatório e muito tempo a fazer cálculos, como Godel
teve oportunidade de comprovar ao elaborar as suas provas…
Antes da revolução
informática, era tradição submeter qualquer novo teorema deste tipo a uma
extensa verificação, efectuada por colegas académicos do autor, para detectar e
expurgar eventuais erros de cálculo, antes da publicação definitiva do
trabalho.
A tecnologia actual de computação, que progressivamente tem
vindo a aumentar, de forma exponencial, a capacidade de efectuar uma imensidade
de cálculos em tempo escasso, trouxe expectativas revolucionárias à própria
matemática.
Por outro lado, esta fonte quase inesgotável
de capacidade de cálculo permitiu
experimentar novas equações e tentar atingir a prova de "teoremas"
difíceis, (em boa verdade sugestões de teoremas), como "o Último Teorema
de Fermat", ou o Teorema das Quatro Cores, ou calcular
a curva de Peano. Esses problemas matemáticos quedam suspensos, aguardando o génio que
consega, num rasgo de inteligência, vislumbrar a sua prova ( Fermat, por
exemplo, ao anotar eese seu "teorema", disse que tinha descoberta uma prova
maravilhosa para ele, mas não a deixou escrita, por falta de espaço...), ou
aguardando as condições que tornem possível a produção da prova pela execução dos
cálculos
necessários. Nesse capítulo, os computadores abriram novos campos à matemática… Mas como as provas produzidas pelo computador assentam
numa quantidade de cálculos que nenhum
humano pode realizar em tempo útil, levanta-se a curiosa
questão de saber se aceitar essa prova não requer um acto de fé, uma crença justificada na exactidão dos cálculos efectuados.
Retomemos agora o sistema
dos números naturais para dizer que este apresentava, já antes do trabalho de Godel, alguns teoremas cuja verdade ou falsidade não tinha
sido possível provar. Julgava-se, à
época, que tal se devia, provavelmente, a ser demasiado difícil produzir tal
prova.... Godel, porém, vem provar que a improvabilidade, ou a indecidibilid
ade, ou
indemonstrabilidade de certas proposições geradas num sistema lógico-dedutivo
são características desse sistema, e não mero fruto da incapacidade ou da
estupidez humana.
Um dos teroremas sem prova era o
"último
teorema de Fermat",
referido acima, e que se pode enunciar da seguinte forma: xn + yn
= zn não tem solução com números inteiros se n > 2, ou
seja, é possível encontrar números inteiros, que são um quadrado (
exemplo: zn=52=25) e que são, também, a soma de dois outros
quadrados (exemplos: xn=32=9 + yn=42=16
logo 9 + 16 = 25), mas tal não é possível com potências superiores (por
exemplo, com números ao cubo, ou elevados à quarta, à quinta etc...). Era
também o caso da interessante conjectura de Goldbach; todos
os números par maiores que 2 são a soma de dois números primos, ou seja, 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, e por aí
adiante. Até agora, ainda não se encontrou um número par que contradissesse
esta proposição. Mas também não é possível provar que não possa, um dia, aparecer….
Curva de Peano, que permite preencher
totalmente
o quadrado.
Estes “pequenos
mistérios” permanecem ocultos e esquecidos nas rotinas e hábitos que envolvem a nossa
utilização dos números. Distraídos, não atentamos nos segredos e enigmas
que a aritmética ainda possa guardar. Por exemplo, a notação numérica que
utilizamos no dia-a-dia parece-nos tão óbvia que ignoramos propositadamente os
axiomas que sustentam as suas facetas combinatórias. Quem se lembra que 365
significa 3 vezes dez ao quadrado mais 6 vezes 10 mais 5???
Como ficou dito no
início, Peano
definiu os axiomas necessários para fundar logicamente todo o sistema de
numeração que utilizamos diariamente. O primeiro axioma é a proposição que
afirma: zero é um número.
Giuseppe Peano
É deste sistema, baseado
nos axiomas de Peano, que Godel
teria de provar a completude, se quisesse responder
positivamente ao apelo de Hilbert. O resultado dos
seus esforços foi exactamente o contrário!
Como não é de
estranhar, a complexidade dos cálculos efectuados por Godel
no seu trabalho não facilita a compreensão de todos os detalhes a quem não
tenha treino matemático, nem torna fácil resumi-los e expô-los numa acessível e
sucinta explicação. Mas, em contrapartida, a estratégia que concebeu é elegante
e bastante simples... Esta simplicidade é uma marca bastante comum nas
intuições geniais!
Godel definiu o seu
“alfabeto simbólico” de forma peculiar… Seguiu alguns dos passos usuais que
mostrámos acima, utilizando a notação formal dos Principia Matematica
de Russel e Whitehead; mas
juntou os chamados “números de Godel”. Nos dias de hoje, em que levamos já algumas
décadas de informática, essa numeração pode-nos parecer apenas mais um, entre muitos, dos sistemas
possíveis de codificação, ou “linguagens”, que se vulgarizaram com os
computadores, mas em 1931 eram
inéditos e uma estratégia inovadora... Vejamos:
Signo básico
Número de Godel
Significado
~ 1 não
-> 2 se… então (if..then..)
x 3 variável
= 4 igual a
0 5 zero
s 6 o sucessor
de …
( 7 sinal de
pontuação
) 8 sinal de pontuação
‘ 9 primo
Como se percebe, o
quantificador “todos” e “qualquer” é dado pelo parêntesis, e a apóstrofe, ou
primo, permite criar mais variáveis, como x’,
x’’, x’’’ etc…
Podemos agora
escrever uma primeira proposição, que parece sintetizar outros axiomas de Peano. Nela podem reconhecer-se algumas das qualidades dos números naturais:
P1 (proposição 1) (X) (X’) ((s(x)=s(x’)) -> (x=x’))
Esta proposição
significa, assumindo que o nosso universo de discurso é o conjunto dos números
naturais, que cada número natural tem um sucessor e este sucessor é único, é
diferente de todos os outros. A leitura “literal” é: Para todo o x e todo o x’, se o
sucessor de x
for idêntico ao sucessor de x’, então x é idêntico a x’
Se observarmos os
números naturais, verificamos que assim é. De facto, 6 é sucedido por sete, e
só por sete, e sete é sucedido por oito, e só por oito, e não há limite a esta
capacidade assintótica de acrescentar mais um
sucessor… Eis a infinitude
do sistema aritmético, tão “complicativa” para os amantes dos cálculos finitaristas,
mas tão fecunda para quem não tema os paradoxos!
Agora, vamos
traduzir esta proposição P1 em números de Godel,
substituindo, segundo a tabela acima, cada signo pelo seu correspondente
número. Criamos uma proposição NG(P1) (números
de Godel da proposição P1):
NG(P1)=738739877673846739882734398
Como se vê, a
genialidade de Godel levou-o a criar, não um sistema,
mas dois, em paralelo e articulados, por inerência, um ao outro.
Neste sistema
dúplice, se podemos atribuir uma sequência numérica a uma proposição, poderemos
também atribuir uma sequência numérica a uma prova, uma vez que uma prova mais
não é que um conjunto de proposições significativamente sequenciais e
mutuamente relacionadas em termos dedutivos.
Assim, juntemos agora
uma outra proposição, P2, que será a
segunda proposição a incluir na prova:
P2 s(0)=s(0) zero
é um número
Agora, vamos transcrever
esta proposição para números de Godel, juntando-a com a anterior proposição:
NG(P1,P2)=7387398776738467398827343980675846758
(se o leitor está
atento, descobriu um zero nesta proposição, signo que não faz parte do conjunto
de nove números de Godel
referido acima. De facto, o zero é aqui aplicado como um sinal de separação
entre as proposições que se forem seguindo, para permitir continuar a identificar
cada uma delas e a verificar a sua exactidão).
A dedução da prova
da incompletude desenvolve-se a partir desta base. Os cálculos complexos, que
só um matemático treinado pode acompanhar em pormenor, sucedem-se. Mas o que
ficou já mostrado revela a estratégia brilhante que Godel
desenvolveu… Torna-se patente que ficam disponíveis, não um, mas dois caminhos
de demonstração, um de sintaxe formal
e um numérico, um de signos formais lógicos e um de combinações numéricas. Estas duas vias,
constituídas por dois tipos de proposições que se vão ordenando em paralelo,
espelham-se e confirmam-se uma à outra, num jogo de retirar a respiração… Se
houver uma relação entre as proposições P1 e P2, essa mesma relação ficará
numericamente espelhada em GN(P1) e GN(P2).
Por exemplo, se a
proposição P7 estiver implícita em P3, então tanto se poderão utilizar as
regras lógicas formais para o demonstrar e efectuar a dedução de P7 a partir de
P3, como se poderá fazer essa demonstração ao obter GN(P7)
de GN(P3) multiplicando esta por um inteiro para obter aquela… Supondo que
GN(P3) = 317, multiplicando esta por 617 obteremos o valor de GN(P7) que é =
195589.
Esta extraordinária articulação
consequente entre as implicações lógicas e as relações numéricas irá constituir
uma verdadeira sinfonia matemática. À medida que Godel
vai compondo e ordenando o conjunto de proposições formais que irão constituir
prova dos teoremas em causa, as sequências numéricas correspondentes a essas proposições
irão apresentar uma qualidade numérica distinta e peculiar: poderão ser
sequências numéricas só de números primos, ou todos impares, ou quadrados de
primos, ou outras propriedades bem mais complexas.