Números
O número
é uma entidade abstracta, simbolizada por um numeral, que usamos para
representar uma contagem ou uma medição
Ou
O número é um conceito matemático usado para descrever e dar valor a quantidades.
Números Egípcios
O número, de facto, não só foi um aliciante
tema de eruditos e sábios, como também um corriqueiro e indispensável utensílio
da vida diária de todas as comunidades humanas, onde contar e medir eram
funções sociais de primordial importância.
Nesse afazer quotidiano fomos refinando e
alargando a nossa utilização dos números. Hoje, referimos e utilizamos, com
toda a naturalidade, variadíssimos tipos de números; os “números de telefone”,
“número do BI”, “números da Lotaria”, “número da Porta”, “número do Bilhete”,
“as horas” “a taxa de juro”, o “salário mínimo”. Praticamos também, muitas
vezes ao dia, as operações e cálculos que os números nos permitem efectuar.
Contamos, somamos, subtraímos, multiplicamos, dividimos…
Em Matemática, os vários tipos de números
foram sendo cuidadosamente definidos, porque são um elemento fundamental dos
respectivos campos de aplicação. O estudo e aprofundamento das potencialidades
ou limites de certos números conduziram à invenção, ou descoberta (se uma, se
outra, é tema de debate quase permanente…) de outros números e oportunidades de
cálculo, numa espiral animada pela curiosidade, pela ignorância e, por vezes,
pelo génio.
Vejamos, abaixo, quais os tipos, ou sistemas
de números, que hoje são mais utilizados e estudados em matemática.
Apresentamos esses sistemas num crescendo de complexidade, que acaba por
corresponder à sua evolução no tempo.
Os diferentes tipos de Números
em
Matemática
Natural – Denotado N, o número natural é todo o número positivo e
inteiro. Assim, temos a sequência
1,2,3,4,5,6,7... Quando estes números são adicionados ou multiplicados
entre si, o resultado é sempre outro número natural. Aos números naturais
acrescentou-se mais tarde o zero, o número de elementos do conjunto vazio,
abrindo o caminho à noção do conjunto dos números inteiros. De facto, ao
calcular equações, o número natural permite solucionar a
equação n + 4 = 20, sendo n = 20 – 4 = 16. Mas já não permite
resolver a equação n + 20 = 4, cuja
solução requer um número negativo (n = 4
– 20 = -16). Esta limitação dos números naturais para resolver aquela e outras equações semelhantes levou a
concluir que esta classe de números mostrava incompletude algébrica. Para ultrapassá-la,
concebeu-se a classe dos números inteiros.
Inteiro - Denotado Z, é todo o
número positivo ou negativo, incluindo o zero, não
fraccionado;…-7,-6,-5,-4-,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7… O conjunto dos números
inteiros é, portanto, uma extensão dos números naturais, que dá solução a uma
equação como 1 + x = 0, (solução que
é, obviamente, -1), ou a um produto como -1
X n (sendo n um qualquer número
natural). Adicionados ou
multiplicados entre si, o resultado é sempre outro número inteiro. No entanto,
esta classe de números também não é algebricamente fechada e novos números são
necessários…
Fraccionário – É o quociente ou rácio de dois números inteiros, chamados o numerador e o denominador.
O número fraccionário permite exprimir uma determinada porção, composta por uma
ou mais partes (tantas quantas as indicadas pelo numerador) resultantes da divisão de uma determinada quantidade em
partes iguais (tantas quantas o valor do denominador).
Como não é possível dividir por zero, o denominador nunca pode ser zero. Uma
fracção, no sentido próprio habitual, representa uma quantidade £ 1 (igual ou inferior
à unidade). Os números fraccionários, que vêm alargar extraordinariamente as
sequências anteriores, resultam da operação de divisão, aqui introduzida e, como rácios que são, quase poderíamos
dizer que são sinónimo de número racional…
Racional
- O conjunto dos racionais, denotado Q, é o conjunto de todo e qualquer número inteiro ou calculável, isto
é, que pode ser obtido pela divisão entre dois inteiros, satisfazendo a equação
r=p/q (sendo p e q inteiros). Parte da teoria dos números racionais está
integrada na Aritmética, parte na Álgebra. Também este conjunto não se mostrou
completo, ou algebricamente fechado.
Irracional -
É um tipo de número que a Antiguidade descobriu na Geometria, para
escândalo e consternação daqueles, como os Gregos, que viam nos números a
expressão natural da racionalidade e
da comensurabilidade de qualquer
extensão. Mas o triângulo rectângulo isósceles, de catetos iguais à unidade,
teria uma hipotenusa cujo quadrado seria 2 (esta figura também pode ser
descrita como a diagonal de um quadrado de lado igual à unidade…). Ora, não há
inteiro que seja solução à raiz quadrada de dois… Essa hipotenusa (ou essa
diagonal) seria incomensurável! Concluiu-se então que, para qualquer inteiro n que não seja o quadrado de outro
inteiro, a raiz quadrada desse inteiro n
seria um número irracional. O valor do número irracional, portanto, não pode
ser calculado - é uma série infinita em si mesmo.
Por representarem, nessa época, uma marcante
excepção à racionalidade, estes números foram chamados de irracionais, embora
se tenha de deixar claro que, actualmente, em matemática, não se pode dizer que
é irracional todo o número que não é racional. Por exemplo, os números
infinitesimais não são racionais, nem irracionais.
Os números irracionais mais famosos foram
estudados, em segredo, por Pitágoras e seus discípulos, como o famoso pi ou a não menos famosa Ö2, que, segundo reza a lenda, custou a vida a Hipasus, que
descobriu a sua irracionalidade enquanto viajava de barco, e quando comunicou a
sua descoberta aos companheiros de viagem, seguidores fanáticos de Pitágoras, este
atiraram-no ao mar. A teoria dos números irracionais chama-se calculus.
Real – O conjunto dos números reais, denotado R, é o conjunto de todos os números racionais e irracionais. O número real é normalmente visualizado
como um qualquer dos pontos de uma linha recta infinita, cujos pontos são
números sequenciais. Ao número real
contrapõe-se o número imaginário.
Imaginário - O número imaginário і é o número cuja raiz quadrada é – 1. Durante séculos procurou-se
uma solução para equações quadráticas como x2 = -1 ou x2 -2x
+ 2 = 0. Mas o problema é que o quadrado de qualquer número, positivo ou
negativo, é sempre positivo. Foi a invenção do número imaginário que resolveu o
problema. Multiplicando todos os números, positivos ou negativos, excepto zero,
pelo і , obtemos todo um novo conjunto de números,
chamados imaginários, cuja propriedade principal é que, quando elevados ao
quadrado, o seu valor é negativo.
Algébrico - Número denotado
normalmente por A, tem por
contraparte o número transcendental.
A união dos dois conjuntos, o dos números algébricos e o dos números
transcendentais, forma o conjunto dos números reais. O conjunto dos números
reais não é contável porque, embora o conjunto dos algébricos seja contável, o
conjunto dos trascendentais não o é. O número algébrico é sempre representado
por uma raiz ou um logaritmo.
Complexo - Os números complexos, denotados C, obedecem à forma x + iy, em que x e y são números reais e i
é
o número imaginário cujo valor é Ö -1. Só os números complexos são
algebricamente fechados.
Perfeito - Todo o número é divisível, pelo menos, por 1 e
por si próprio. O número n é
perfeito se for igual à soma dos seus divisores, incluindo 1 mas excluindo n (ou seja, excluindo-se a si
próprio…). O primeiro número perfeito é 6
(= 1 + 2 + 3 ), o segundo é 28 ( 1 +
2 + 4 + 7 + 14). Euclides, nos Elementos, tinha provado que, se tivéssemos um
número primo p tal que p + 1 = 2k, então 2 k-1 * p seria um número
perfeito – seja 7 esse primo, p +1 = 23, 23-1* 7 = 28, número
perfeito!!! O terceiro número perfeito é 496,
segue-se 8128. O quinto número
perfeito foi calculado, já lá vão quase quinhentos anos, por Hudalrichus Regius
– 33.550.336. Quer calcular o sexto?
Número Surreal – Estes números foram
criados por John Conway, o inventor do famoso Game of Life. Em 1974 foi
publicado um livro, pelo matemático e professor Donald Knuth, a quem Conway
confiou as suas ideias e com quem colaborou, no desenvolvimento de toda a
teoria dos números surreais. Este livro, uma novela, marca a primeira vez em
que um “livro de ficção”,e não uma publicação da especialidade, divulga, em
primeira mão, uma novidade matemática importante... Knuth decide escrever o
livro para poder transmitir o prazer que deu a ambos, ( e pode dar a qualquer
um ), desenvolver um processo criativo em temas matemáticos!!!
O número surreal
define-se da seguinte forma: é um par de
conjuntos de números surreais previamente criados. Nesse par, os conjuntos
que o constituem são conhecidos por “conjunto da esquerda” e “conjunto da
direita”. Nenhum membro do conjunto da direita pode ser menor ou igual a
qualquer membro do conjunto da esquerda.
Um dos aspectos mais
curiosos desta teoria (visível, aliás, na definição acima, que é como que
circular, ou tautológica) é que os números surreais são criados de
(praticamente..) nada. O primeiro número criado, como não é de estranhar em tal
situação, é zero, em que o “conjunto da esquerda” e o “conjunto da direita” são
conjuntos vazios.
OUTRAS
CLASSIFICAÇÔES E PROPRIEDADES DOS NÚMEROS
Ordinal - número cujo valor é
determinado pela sua posição numa sequência de números. Nessa sequência
ordenada, a contagem será do tipo primeiro, segundo, terceiro, quarto, etc…
Cardinal – é o número que representa
a contagem dos elementos de um conjunto, ou o seu poder. Os cardinais ganharam
relevância acrescida a partir do desenvolvimento da teoria dos conjuntos e do
problema do “continuum” de Cantor.
Positivo – número com valor superior a zero
Negativo – número com valor inferior a zero
Par – é qualquer número natural divisível por dois.
Impar – é o número natural que antecede ou sucede a qualquer par e que não
é divisível por dois.
Número Primo - É o numero natural superior a 1 que só pode ter
por divisores naturais a unidade ou ele próprio. Ao primo contrapõe-se o número composto.
O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que qualquer número natural é um
primo ou o produto de números primos. Os primeiros primos (uma série infinita…)
são 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,
103 etc… Hudalrichus Regius, já citado anteriormente, provou que era falsa a
conjectura que todo o número que satisfazia a formula 2n – 1 (sendo o expoente n um número primo) era um número primo. Até Regius provar o
contrário, todos davam esta fórmula como certa, olhando para a seguinte
sequência: 22 – 1 = 3, 23
– 1 = 7, 25 – 1 = 31, 27
– 1 = 127, etc… Mas Regius
mostrou que 211 – 1 = 2047,
que não é primo, pois é igual a 23
multiplicado por 89.
Expoente
– Numa
repetição do produto a x a x a…. x a pelo número K de factores, denotamos
essa operação por ak sendo K designado por expoente
e a por base. Quando o
expoente é dois, chamamos a essa
potenciação “elevar ao quadrado”, ou
“ao cubo” quando é igual a 3. A base
10 aplica-se ao sistema decimal de numeração, actualmente o mais utilizado,
embora se mantenha a utilização de outros sistemas como o binário e o
hexadecimal, na informática, ou o sistema de base 12, nos relógios. Será
interessante referir que elevar um número ao expoente -1 produz o seu inverso ( a -1 = 1/a ). Portanto, 3-3 = 1/3 * 1/3 * 1/3 = (1/3)3
= 1/33 . Também podemos relembrar o óbvio, ou seja,
que n1 = n (um número elevado
a um é igual a ele próprio). Dito isto, podemos agora tirar uma conclusão
curiosa e sugestiva: qualquer número (excepto zero) elevado a zero, é igual a
um, n0 = n1 * n-1
= n * 1/n = 1 !!!
Número
de série – número que faz parte de uma sequência de números e é atribuído para identificação, e varia do seu
predecessor nessa sequência, assim como do seu sucessor, por um valor inteiro
discreto e fixo. Em matemática, pode definir-se este conceito dizendo
simplesmente que é o relacionamento de cada elemento de um conjunto com os
números ordinais.
Número nominal – Número identificativo mas que não faz parte de uma
sequência ou série.
NÚMEROS FAMOSOS
O pi
3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164….
O p, um número irracional, é a razão (constante) entre a circunferência C e o diâmetro d de qualquer círculo. Assim, C = p d .
Historicamente, parece que há mais de 4 mil anos que se conhece
esta razão constante entre a circunferência e o diâmetro de qualquer círculo.
Num papiro egípcio dá-se ao pi o valor de 3,160493827. Os valores, na
Babilónia, oscilavam entre 3 1/6 e 3 1/8.
Arquimedes de Siracusa aproximou-se ainda mais do valor de pi
usando o seu método da exaustão.
A sequência (ou os números) de Fibonacci
Para além das sequências elementares, como a
dos números naturais, dos inteiros, etc… é possível gerar incontáveis
sequências numéricas. Algumas sequências, por diversos e variados motivos,
nomeadamente as suas implicações na própria teoria dos números, tornaram-se
famosas!!!
A sequência
de Fibonacci é um desses casos, que passamos a descrever.
No ano de 1202, Fibonacci apresentou o
seguinte problema: imagine-se que temos um recém-nascido par de coelhos, macho
e fêmea, que podem acasalar no final do primeiro mês, procriando, a partir do
fim do segundo mês, um novo par, macho e fêmea, por mês.
Cada um destes novos pares procriará também um par por mês, a
partir do segundo mês. Se nenhum coelho morrer, quantos pares de coelhos temos
no final de um ano?
A sequência de Fibonacci,
resultante deste problema, é a seguinte:
1 – Começamos com um
par, no primeiro dia do primeiro mês.
1 – No primeiro dia do
segundo mês, mantém-se esse par, porque ainda não procriou.
2 – No início do
terceiro mês, há dois pares.
3 – No início do quarto
mês, o primeiro par volta a procriar, ficando três pares.
5 – No quinto mês, o
primeiro e o segundo par procriam, ficando cinco pares.
8 – No início do sexto
mês, os três primeiros pares procriam, ficando oito.
13 – No sétimo mês,
procriam cinco pares, ficando treze.
21 – No oitavo mês,
procriam oito pares, ficando vinte e um.
34 – No nono mês,
procriam treze pares, ficando trinta e quatro.
55 – No início do décimo
mês, procriaram vinte e um pares, ficando cinquenta e cinco.
89 – No início do 11º
mês, ficam 89 pares, porque procriaram trinta e quatro.
144 – No início do décimo
segundo mês, ficam 144, porque procriaram 55.
Esta sequência forma-se, portanto, somando os
últimos dois números!
A sequência de Fibonacci, aplicada aos lados de
quadrados, gera um conjunto de rectângulos e espirais:
Esta sequência permite depois, se inscrevermos
um quarto de círculo em cada quadrado, desenhar a espiral que se encontra
espalhada pela Natureza, seja em formas minerais,
À esquerda, vemos a imagem da concha do Nautilus, com a espiral mencionada
acima que, tal como acontece com os números de Fibonacci, apresenta a proporção
constante designada pelo
O girassol apresenta, regra geral, um número
de pétalas que está incluído na sequência de Fibonacci (à direita, um girassol
com 21 pétalas). Mas, mais do que
isso, as suas sementes, normalmente, encontram-se dispostas em espirais de secção dourada.
As pinhas também mostram espirais de
Fibonacci. Em Botânica, chama-se meristema ao tecido que gera as novas
células. O meristema determina, pelo
código genético, a utilização da sequência de Fibonacci para organizar a
disposição das células, das sementes e das folhas.
A
disposição que obedece à sequência de Fibonacci acaba por ser aquela que melhor
permite à planta armazenar as suas sementes, captar a luz do sol, ou
simplesmente ocupar o espaço, desenvolvendo os ramos e as folhas na forma mais
eficaz e útil ás suas necessidades vitais.
Podemos representar a sequência de Fibonacci
com a seguinte notação: F( i+2) = F(i+1)
+ F(i)
O NÙMERO
DOURADO, OU PHI
Tanto o pi como o phi
são números
irracionais, tal como a também famosa raiz quadrada de dois ( Ö2 ) .
Como não são calculáveis, lidamos normalmente,
nos cálculos, com as suas aproximações racionais, nomeadamente quando dizemos que
pi = 3,14.
As aproximações para o j (phi) calculam-se quando dividimos um
número da sequência de Fibonacci pelo número anterior,
sendo que este quociente vai estabilizando à medida que “subimos” na sequência,
ou seja, o j é o limite da razão
entre termos consecutivos da sequência de Fibonacci.
1/1=1, 2/1=2, 3/2=1,5 , 5/3= 1,666… , 8/5=1,6
, 13/8 = 1, 625, 21/13= 1,61538…
O exacto valor de phi pode ser representado por (Ö5 – 1) /
2. Tem
o valor aproximado de 1,618034, e
chama-se número dourado, ou secção
dourada, segundo o nome que lhe deu Kepler.
Na calculadora pode-se calcular o phi da seguinte forma: inserir 1, para
iniciar o processo. Inserir o seu recíproco (tecla 1/x). Adicionar 1. Inserir novamente
o recíproco. Adicionar novamente 1. Inserir novamente o recíproco. Adicionar
novamente 1, etc…. Vai-se repetindo esta sequência até que o resultado passa a
ser constante, “convergindo” (como dizem os matemáticos) para um valor,
provavelmente 1,61803. Neste método, não se pode iniciar com zero ou -1. Outra
forma de calcular o phi é: inserir um número qualquer, inteiro ou fraccionário,
mas maior que -1. Adicionar 1. Calcular a sua raiz quadrada. Adicionar 1.
Calcular a sua raiz quadrada. Adicionar 1, etc… repete-se até o resultado
A secção dourada era conhecida pelos Gregos. O
estudo de figuras geométricas como o Pentágono regular revelaram esta
“proporção divina”, como lhe chamou, mais tarde, o matemático Renascentista
Luca Paciolli no livro “De Divina Proportione”, (1509), que foi ilustrado por
Leonardo Da Vinci. No pentágono regular é possível inscrever uma estrela de
cinco pontas, que coincide com as diagonais dessa figura. Cada uma dessas cinco
diagonais é intersectada em dois pontos pelas outras diagonais, e cada um
desses dois pontos divide a diagonal em dois segmentos, um maior e outro menor.
Pois bem, a razão entre o segmento maior e o menor é idêntica à razão (ou
proporção) entre o maior e a diagonal.
Euclides chama-lhe a proporção da extrema e da
média. No Parténon, parece ser possível reconhecer a secção dourada nas formas dos templos, isto é, na proporção entre a
altura e a largura dos edifícios.
SISTEMAS
NUMÉRICOS DE BASES DIFERENTES
Base
decimal ( 10 ) Base binária ( 2 ) Base
ternária ( 3 ) Base octal ( 8 ) Base hexadecial ( 16 )
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
10 |
2 |
2 |
2 |
|
3 |
11 |
10 |
3 |
3 |
|
4 |
100 |
11 |
4 |
4 |
|
5 |
101 |
12 |
5 |
5 |
|
6 |
110 |
20 |
6 |
6 |
|
7 |
111 |
21 |
7 |
7 |
|
8 |
1000 |
22 |
10 |
8 |
|
9 |
1001 |
100 |
11 |
9 |
|
10 |
1010 |
101 |
12 |
A |
|
11 |
1011 |
102 |
13 |
B |
|
12 |
1100 |
110 |
14 |
C |
|
13 |
1101 |
111 |
15 |
D |
|
14 |
1110 |
112 |
16 |
E |
|
15 |
1111 |
120 |
17 |
F |
|
16 |
10000 |
121 |
20 |
10 |
|
17 |
10001 |
122 |
21 |
11 |
|
18 |
10010 |
200 |
22 |
12 |
|
19 |
10011 |
201 |
23 |
13 |
|
20 |
10100 |
202 |
24 |
14 |
Nota: no sistema de base hexadecimal são integrados os signos A,B,C,D,
E, F para completar o conjunto de numerais provenientes da base decimal e que
são obviamente insuficientes em base 16.
Alguns conceitos utilizados
Equação – A igualdade é Uma das noções mais básicas da matemática,
porque resulta da compreensão imediatamente subsequente à compreensão da
identidade. Reconhecendo A, reconhecemos que A=A. O princípio de identidade
assim algébrica ou formalmente representado deixa-nos abstrair a noção de igualdade, representada pelo sinal =. Logo podemos também constatar que A
= B, ou até que A = B + C, e que, assim sendo, A – B = C...
A equação é uma expressão matemática que formaliza uma relação de
igualdade entre dois termos ou lados da expressão. Ambos os lados da expressão
podem ser manipulados, segundo certas regras que garantem que tal igualdade não
seja violada. Sabendo que a equação é uma relação de igualdade, os lados da
expressão podem conter incógnitas, cujo valor pode ser calculado. O
desenvolvimento da álgebra, da
capacidade de abstrair e representar formalmente os valores e as operações
conduziu ao desenvolvimento contínuo das equações, que foram classificadas segundo
vários critérios, nomeadamente o número de incógnitas.
Identificação – é a atribuição de uma quantidade ou qualidade conhecidas a uma entidade
desconhecida, para que assim esta passe a ficar conhecida. À quantidade ou
qualidade conhecidas chamamos o identificador, à entidade, o identificado.
Identidade – Em lógica, a lei da
identidade afirma que A = A. Esta afirmação (A=A) é considerada uma tautologia,
isto é, afirma uma mesmidade. Em Metafísica, a aporia Platónica do Mesmo e do
Outro foi desvalorizada por Aristóteles, que considerou inútil a questão:
porque é que A é A? Os Escolásticos reforçaram essa inutilidade, promovendo-a a
impossibilidade… Afirmaram eles que “a existência não é um predicado”, ou seja,
a existência de A é um pressuposto necessário a que A possa ser predicado de,
ou com, alguma coisa. A existência do sujeito que se predica é, portanto, uma
evidência. Percebe-se então que, quando discutimos “a existência de
extra-terrestres”, apenas discutimos as opiniões ou os testemunhos
contraditórios sobre o tema. A discussão poderá apenas incidir sobre a maior ou
menor veracidade ou credibilidade dessas opiniões ou testemunhos. Quanto à “existência”,
propriamente dita, dos “extra-terrestres”, essa em nada depende da discussão …
A existência não se prova, constata-se. Daí que o princípio da identidade seja
uma tautologia, que apenas tem razão de ser numa análise prévia das condições
de toda a lógica predicativa.
Mas já em Ética, a mesmidade desse sujeito A,
ou a identidade do sujeito/agente,
que se reconhece a si mesmo como tal, e a sua identificação pelos outros, é fundamental para a responsabilização ética desse sujieto/agente pelas acções
praticadas. O agente responsável é, necessariamente, o mesmo, antes, durante e
depois da acção, ou não haverá responsabilidade. Daí que, em certos casos, haja
inimputabilidade (impossibilidade de acusar ou atribuir culpa) – quando o
agente enlouquece, ou perde a sua memória, ou quando ainda não é detentor da
sua total identidade (os menores de idade).
Medição – Medir é determinar
a extensão, a dimensão ou a capacidade através de uma comparação, ou
proporcionalidade. Para medir, necessitamos de uma escala, um padrão que defina a unidade
de medição. Contrariamente à contagem, que nos dá um valor exacto, expresso
num inteiro, dos objectos contados, a medição tem sempre um carácter de incerteza, devido à estimativa da razão entre a magnitude real do objecto a medir e a
unidade de medição. Por exemplo, dizer que o lado de uma mesa tem 2 metros é
uma estimativa. A mesa pode ter 2,0002340230 metros, se a medição for feita com
um microscópio, e não a olho nu. A exactidão absoluta da medição não existe,
por definição. Este foi um dos argumentos utilizados por Karl Popper para dessacralizar o “rigor científico” do
verificacionismo positivista e propor o método mais humilde da refutabilidade das teses e teorias
científicas.
Contagem– Contar é um dos
gestos culturais mais antigos e profícuos da História. A contagem está
vinculada a uma situação de variabilidade entre a abundância e escassez. A
experiência destes dois extremos repete-se ininterruptamente, numa tensão vital
cuja importância vem bem transcrita no Génesis. A abundância do Paraíso
reflecte o estado natural da Criatura, daquele que reconhece a vida que
recebeu, como uma dádiva, e nasce na total inocência da escassez que já pende
sobre os seus progenitores. Uma vez nascido, o nascituro recebe os primeiros
sinais da tensão entre uma abundância generosa, a do leite materno, que é o
único paliativo para o desejo de alimento, essa surpreendente e dolorosa
escassez, avara e inevitável, que é causada pela própria actividade física do
recém-nascido.
A escassez de energia vital, que só o alimento
compensa, vai obrigar à identificação desses dois extremos, a escassez sentida
na fome, a abundância que traz a satisfação. A racionalização do número
corresponde à compreensão do muito e do pouco, sub-categorias da quantidade,
que se desdobram e obtêm representação cada vez mais exacta nos números. A
contagem vai determinar o quanto, numa escala que oscila entre o muito e o
pouco, nas suas variadas facetas.
Com o desenvolvimento da teoria dos conjuntos,
a contagem foi definida como o acto de determinar quantos elementos estão num
conjunto. O conjunto de elementos contáveis é o conjunto dos números naturais,
sendo zero o número de elementos do conjunto vazio.
Toda a computação ou cálculo é sinónimo de
contagem, quando o resultado é finito e
exacto, e de aproximação, ou medida, quando o não é...
Última
actualização em 25/10/2006