Números

 

 

 

O número é uma entidade abstracta, simbolizada por um numeral, que usamos para representar uma contagem ou uma medição

 

Ou

 

O número é um conceito matemático usado para descrever e dar valor a quantidades.

 

Números Egípcios

Há muitas definições para o conceito de número, umas reflectindo abordagens mais filosóficas, outras mais matemáticas. Mas a profusão de definições e a diversidade de sistemas numéricos conhecidos reflecte o interesse e a importância do número, certamente um dos mais fecundos e enigmáticos temas da cultura humana, nos últimos milénios. O número desafia e alimenta o engenho e a inteligência, tanto pelas consequências práticas que o conhecimento dos números trouxe, e traz, às sociedades, como pelas suas implicações e potencialidades teóricas.

 

O número, de facto, não só foi um aliciante tema de eruditos e sábios, como também um corriqueiro e indispensável utensílio da vida diária de todas as comunidades humanas, onde contar e medir eram funções sociais de primordial importância.

 

Nesse afazer quotidiano fomos refinando e alargando a nossa utilização dos números. Hoje, referimos e utilizamos, com toda a naturalidade, variadíssimos tipos de números; os “números de telefone”, “número do BI”, “números da Lotaria”, “número da Porta”, “número do Bilhete”, “as horas” “a taxa de juro”, o “salário mínimo”. Praticamos também, muitas vezes ao dia, as operações e cálculos que os números nos permitem efectuar. Contamos, somamos, subtraímos, multiplicamos, dividimos…

 

Em Matemática, os vários tipos de números foram sendo cuidadosamente definidos, porque são um elemento fundamental dos respectivos campos de aplicação. O estudo e aprofundamento das potencialidades ou limites de certos números conduziram à invenção, ou descoberta (se uma, se outra, é tema de debate quase permanente…) de outros números e oportunidades de cálculo, numa espiral animada pela curiosidade, pela ignorância e, por vezes, pelo génio.

 

Vejamos, abaixo, quais os tipos, ou sistemas de números, que hoje são mais utilizados e estudados em matemática. Apresentamos esses sistemas num crescendo de complexidade, que acaba por corresponder à sua evolução no tempo.

 

 

 

Os diferentes tipos de Números

em Matemática

 

 

Natural – Denotado N, o número natural é todo o número positivo e inteiro. Assim, temos a sequência  1,2,3,4,5,6,7... Quando estes números são adicionados ou multiplicados entre si, o resultado é sempre outro número natural. Aos números naturais acrescentou-se mais tarde o zero, o número de elementos do conjunto vazio, abrindo o caminho à noção do conjunto dos números inteiros. De facto, ao calcular equações, o número natural permite solucionar a equação n + 4 = 20, sendo n = 20 – 4 = 16. Mas já não permite resolver a equação n + 20 = 4, cuja solução requer um número negativo (n = 4 – 20 = -16). Esta limitação dos números naturais para resolver aquela e outras equações semelhantes levou a concluir que esta classe de números mostrava incompletude algébrica. Para ultrapassá-la, concebeu-se a classe dos números inteiros.

 

Inteiro -  Denotado Z, é todo o número positivo ou negativo, incluindo o zero, não fraccionado;…-7,-6,-5,-4-,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7… O conjunto dos números inteiros é, portanto, uma extensão dos números naturais, que dá solução a uma equação como 1 + x = 0, (solução que é, obviamente, -1), ou a um produto como -1 X n (sendo n um qualquer número natural). Adicionados ou multiplicados entre si, o resultado é sempre outro número inteiro. No entanto, esta classe de números também não é algebricamente fechada e novos números são necessários…

 

Fraccionário – É o quociente ou rácio de dois números inteiros, chamados o numerador e o denominador. O número fraccionário permite exprimir uma determinada porção, composta por uma ou mais partes (tantas quantas as indicadas pelo numerador) resultantes da divisão de uma determinada quantidade em partes iguais (tantas quantas o valor do denominador). Como não é possível dividir por zero, o denominador nunca pode ser zero. Uma fracção, no sentido próprio habitual, representa uma quantidade £ 1 (igual ou inferior à unidade). Os números fraccionários, que vêm alargar extraordinariamente as sequências anteriores, resultam da operação de divisão, aqui introduzida e, como rácios que são, quase poderíamos dizer que são sinónimo de número racional…   

 

Racional -  O conjunto dos racionais, denotado Q, é o conjunto de todo e  qualquer número inteiro ou calculável, isto é, que pode ser obtido pela divisão entre dois inteiros, satisfazendo a equação r=p/q (sendo p e q inteiros). Parte da teoria dos números racionais está integrada na Aritmética, parte na Álgebra. Também este conjunto não se mostrou completo, ou algebricamente fechado.

 

Irracional -  É um tipo de número que a Antiguidade descobriu na Geometria, para escândalo e consternação daqueles, como os Gregos, que viam nos números a expressão natural da racionalidade e da comensurabilidade de qualquer extensão. Mas o triângulo rectângulo isósceles, de catetos iguais à unidade, teria uma hipotenusa cujo quadrado seria 2 (esta figura também pode ser descrita como a diagonal de um quadrado de lado igual à unidade…). Ora, não há inteiro que seja solução à raiz quadrada de dois… Essa hipotenusa (ou essa diagonal) seria incomensurável! Concluiu-se então que, para qualquer inteiro n que não seja o quadrado de outro inteiro, a raiz quadrada desse inteiro n seria um número irracional. O valor do número irracional, portanto, não pode ser calculado - é uma série infinita em si mesmo.

Por representarem, nessa época, uma marcante excepção à racionalidade, estes números foram chamados de irracionais, embora se tenha de deixar claro que, actualmente, em matemática, não se pode dizer que é irracional todo o número que não é racional. Por exemplo, os números infinitesimais não são racionais, nem irracionais.

Os números irracionais mais famosos foram estudados, em segredo, por Pitágoras e seus discípulos, como o famoso pi ou a não menos famosa Ö2, que, segundo reza a lenda, custou a vida a Hipasus, que descobriu a sua irracionalidade enquanto viajava de barco, e quando comunicou a sua descoberta aos companheiros de viagem, seguidores fanáticos de Pitágoras, este atiraram-no ao mar. A teoria dos números irracionais chama-se calculus.

 

Real – O conjunto dos números reais, denotado R, é o conjunto de todos os números racionais e irracionais. O número real é normalmente visualizado como um qualquer dos pontos de uma linha recta infinita, cujos pontos são números sequenciais. Ao número real contrapõe-se o número imaginário.  

 

Imaginário -  O número imaginário і é o número cuja raiz quadrada é – 1. Durante séculos procurou-se uma solução para equações quadráticas como x2 = -1 ou x2 -2x + 2 = 0. Mas o problema é que o quadrado de qualquer número, positivo ou negativo, é sempre positivo. Foi a invenção do número imaginário que resolveu o problema. Multiplicando todos os números, positivos ou negativos, excepto zero, pelo і , obtemos todo um novo conjunto de números, chamados imaginários, cuja propriedade principal é que, quando elevados ao quadrado, o seu valor é negativo.  

 

Algébrico - Número denotado normalmente por A, tem por contraparte o número transcendental. A união dos dois conjuntos, o dos números algébricos e o dos números transcendentais, forma o conjunto dos números reais. O conjunto dos números reais não é contável porque, embora o conjunto dos algébricos seja contável, o conjunto dos trascendentais não o é. O número algébrico é sempre representado por uma raiz ou um logaritmo.

 

Complexo - Os números complexos, denotados C,  obedecem à forma x + iy, em que x e y são números reais e i  é o  número imaginário cujo valor é Ö -1. Só os números complexos são algebricamente fechados.

 

Perfeito -  Todo o número é divisível, pelo menos, por 1 e por si próprio. O número n é perfeito se for igual à soma dos seus divisores, incluindo 1 mas excluindo n (ou seja, excluindo-se a si próprio…). O primeiro número perfeito é 6 (= 1 + 2 + 3 ), o segundo é 28 ( 1 + 2 + 4 + 7 + 14). Euclides, nos Elementos, tinha provado que, se tivéssemos um número primo p tal que p + 1 = 2k, então 2 k-1 * p seria um número perfeito – seja 7 esse primo, p +1 = 23, 23-1* 7 = 28, número perfeito!!! O terceiro número perfeito é 496, segue-se 8128. O quinto número perfeito foi calculado, já lá vão quase quinhentos anos, por Hudalrichus Regius – 33.550.336. Quer calcular o sexto?

 

Número Surreal – Estes números foram criados por John Conway, o inventor do famoso Game of Life. Em 1974 foi publicado um livro, pelo matemático e professor Donald Knuth, a quem Conway confiou as suas ideias e com quem colaborou, no desenvolvimento de toda a teoria dos números surreais. Este livro, uma novela, marca a primeira vez em que um “livro de ficção”,e não uma publicação da especialidade, divulga, em primeira mão, uma novidade matemática importante... Knuth decide escrever o livro para poder transmitir o prazer que deu a ambos, ( e pode dar a qualquer um ), desenvolver um processo criativo em temas matemáticos!!!

O número surreal define-se da seguinte forma: é um par de conjuntos de números surreais previamente criados. Nesse par, os conjuntos que o constituem são conhecidos por “conjunto da esquerda” e “conjunto da direita”. Nenhum membro do conjunto da direita pode ser menor ou igual a qualquer membro do conjunto da esquerda.

Um dos aspectos mais curiosos desta teoria (visível, aliás, na definição acima, que é como que circular, ou tautológica) é que os números surreais são criados de (praticamente..) nada. O primeiro número criado, como não é de estranhar em tal situação, é zero, em que o “conjunto da esquerda” e o “conjunto da direita” são conjuntos vazios.   

 

 

 

OUTRAS CLASSIFICAÇÔES E PROPRIEDADES DOS NÚMEROS

 

 

Ordinal - número cujo valor é determinado pela sua posição numa sequência de números. Nessa sequência ordenada, a contagem será do tipo primeiro, segundo, terceiro, quarto, etc…

 

Cardinal – é o número que representa a contagem dos elementos de um conjunto, ou o seu poder. Os cardinais ganharam relevância acrescida a partir do desenvolvimento da teoria dos conjuntos e do problema do “continuum” de Cantor.

 

Positivo – número com valor superior a zero

 

Negativo – número com valor inferior a zero

 

Par – é qualquer número natural divisível por dois.

 

Impar – é o número natural que antecede ou sucede a qualquer par e que não é divisível por dois.

 

Número Primo -  É o numero natural superior a 1 que só pode ter por divisores naturais a unidade ou ele próprio. Ao primo contrapõe-se o número composto. O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que qualquer número natural é um primo ou o produto de números primos. Os primeiros primos (uma série infinita…) são 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101, 103 etc… Hudalrichus Regius, já citado anteriormente, provou que era falsa a conjectura que todo o número que satisfazia a formula 2n – 1 (sendo o expoente n um número primo) era um número primo. Até Regius provar o contrário, todos davam esta fórmula como certa, olhando para a seguinte sequência: 22 – 1 = 3, 23 – 1 = 7, 25 – 1 = 31, 27 – 1 = 127, etc… Mas Regius mostrou que 211 – 1 = 2047, que não é primo, pois é igual a 23 multiplicado por 89.

 

Expoente – Numa repetição do produto a x a x a…. x a pelo número K de factores, denotamos essa operação por ak sendo K designado por expoente e a por base. Quando o expoente é dois, chamamos a essa potenciação “elevar ao quadrado”, ou “ao cubo” quando é igual a 3. A base 10 aplica-se ao sistema decimal de numeração, actualmente o mais utilizado, embora se mantenha a utilização de outros sistemas como o binário e o hexadecimal, na informática, ou o sistema de base 12, nos relógios. Será interessante referir que elevar um número ao expoente -1 produz o seu inverso ( a -1 = 1/a ). Portanto, 3-3 = 1/3 * 1/3 * 1/3 = (1/3)3 = 1/33 . Também podemos relembrar o óbvio, ou seja, que n1 = n (um número elevado a um é igual a ele próprio). Dito isto, podemos agora tirar uma conclusão curiosa e sugestiva: qualquer número (excepto zero) elevado a zero, é igual a um, n0 = n1 * n-1 = n * 1/n = 1 !!!     

 

Número de série – número que faz parte de uma sequência de números e é atribuído para identificação, e varia do seu predecessor nessa sequência, assim como do seu sucessor, por um valor inteiro discreto e fixo. Em matemática, pode definir-se este conceito dizendo simplesmente que é o relacionamento de cada elemento de um conjunto com os números ordinais.

 

Número nominal – Número identificativo mas que não faz parte de uma sequência ou série.

 

 

 

 

NÚMEROS FAMOSOS

 

 

p

 

O pi

 

 

3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164….

 

O p, um número irracional, é a razão (constante) entre a circunferência C e o diâmetro d de qualquer círculo. Assim,  C = p d .

 

Historicamente, parece que há mais de 4 mil anos que se conhece esta razão constante entre a circunferência e o diâmetro de qualquer círculo. Num papiro egípcio dá-se ao pi o valor de 3,160493827. Os valores, na Babilónia, oscilavam entre 3 1/6 e 3 1/8.

Arquimedes de Siracusa aproximou-se ainda mais do valor de pi usando o seu método da exaustão.

 

 

 

A sequência (ou os números) de Fibonacci

 

Para além das sequências elementares, como a dos números naturais, dos inteiros, etc… é possível gerar incontáveis sequências numéricas. Algumas sequências, por diversos e variados motivos, nomeadamente as suas implicações na própria teoria dos números, tornaram-se famosas!!!

 

A sequência de Fibonacci é um desses casos, que passamos a descrever.

 

No ano de 1202, Fibonacci apresentou o seguinte problema: imagine-se que temos um recém-nascido par de coelhos, macho e fêmea, que podem acasalar no final do primeiro mês, procriando, a partir do fim do segundo mês, um novo par, macho e fêmea, por mês.

Cada um destes novos pares procriará também um par por mês, a partir do segundo mês. Se nenhum coelho morrer, quantos pares de coelhos temos no final de um ano?

 

A sequência de Fibonacci, resultante deste problema, é a seguinte:

1 – Começamos com um par, no primeiro dia do primeiro mês.

1 – No primeiro dia do segundo mês, mantém-se esse par, porque ainda não procriou.

2 – No início do terceiro mês, há dois pares.

3 – No início do quarto mês, o primeiro par volta a procriar, ficando três pares.

5 – No quinto mês, o primeiro e o segundo par procriam, ficando cinco pares.

8 – No início do sexto mês, os três primeiros pares procriam, ficando oito.

13 – No sétimo mês, procriam cinco pares, ficando treze.

21 – No oitavo mês, procriam oito pares, ficando vinte e um.

34 – No nono mês, procriam treze pares, ficando trinta e quatro.

55 – No início do décimo mês, procriaram vinte e um pares, ficando cinquenta e cinco.

89 – No início do 11º mês, ficam 89 pares, porque procriaram trinta e quatro.

144 – No início do décimo segundo mês, ficam 144, porque procriaram 55.

 

Esta sequência forma-se, portanto, somando os últimos dois números!

A sequência de Fibonacci, aplicada aos lados de quadrados, gera um conjunto de rectângulos e espirais:

 

Tendo a sequência 1,1,2,3,5,8,13,21 como medida dos lados dos quadrados, vamos encostando um novo quadrado a dois lados dos dois quadrados anteriores, ficando assim cada novo quadrado com um lado que é igual à soma dos lados dos dois anteriores, obedecendo à regra da formação da sequência de Fibonacci.

 

Esta sequência permite depois, se inscrevermos um quarto de círculo em cada quadrado, desenhar a espiral que se encontra espalhada pela Natureza, seja em formas minerais, vegetais ou animais.

 

À esquerda, vemos a imagem da concha do Nautilus, com a espiral mencionada acima que, tal como acontece com os números de Fibonacci, apresenta a proporção constante designada pelo número dourado.

 

O girassol apresenta, regra geral, um número de pétalas que está incluído na sequência de Fibonacci (à direita, um girassol com 21 pétalas). Mas, mais do que isso, as suas sementes, normalmente, encontram-se dispostas em espirais de secção dourada.

As pinhas também mostram espirais de Fibonacci. Em Botânica, chama-se meristema ao tecido que gera as novas células. O meristema determina, pelo código genético, a utilização da sequência de Fibonacci para organizar a disposição das células, das sementes e das folhas.

 A disposição que obedece à sequência de Fibonacci acaba por ser aquela que melhor permite à planta armazenar as suas sementes, captar a luz do sol, ou simplesmente ocupar o espaço, desenvolvendo os ramos e as folhas na forma mais eficaz e útil ás suas necessidades vitais.

 

 

Podemos representar a sequência de Fibonacci com a seguinte notação: F( i+2) = F(i+1) + F(i)

 

 

 

O NÙMERO DOURADO, OU PHI

 

j

 

 

Tanto o pi como o phi são números irracionais, tal como a também famosa raiz quadrada de dois ( Ö2 ) .

 

Como não são calculáveis, lidamos normalmente, nos cálculos, com as suas aproximações racionais, nomeadamente quando dizemos que pi = 3,14.

 

As aproximações para o j (phi) calculam-se quando dividimos um número da sequência de Fibonacci pelo número anterior, sendo que este quociente vai estabilizando à medida que “subimos” na sequência, ou seja, o j é o limite da razão entre termos consecutivos da sequência de Fibonacci.

 

1/1=1, 2/1=2, 3/2=1,5 , 5/3= 1,666… , 8/5=1,6 , 13/8 = 1, 625, 21/13= 1,61538…

 

O exacto valor de phi pode ser representado por (Ö5 – 1) / 2. Tem o valor aproximado de 1,618034, e chama-se número dourado, ou secção dourada, segundo o nome que lhe deu Kepler.

 Na calculadora pode-se calcular o phi da seguinte forma: inserir 1, para iniciar o processo. Inserir o seu recíproco (tecla 1/x). Adicionar 1. Inserir novamente o recíproco. Adicionar novamente 1. Inserir novamente o recíproco. Adicionar novamente 1, etc…. Vai-se repetindo esta sequência até que o resultado passa a ser constante, “convergindo” (como dizem os matemáticos) para um valor, provavelmente 1,61803. Neste método, não se pode iniciar com zero ou -1. Outra forma de calcular o phi é: inserir um número qualquer, inteiro ou fraccionário, mas maior que -1. Adicionar 1. Calcular a sua raiz quadrada. Adicionar 1. Calcular a sua raiz quadrada. Adicionar 1, etc… repete-se até o resultado convergir para phi.

 

A secção dourada era conhecida pelos Gregos. O estudo de figuras geométricas como o Pentágono regular revelaram esta “proporção divina”, como lhe chamou, mais tarde, o matemático Renascentista Luca Paciolli no livro “De Divina Proportione”, (1509), que foi ilustrado por Leonardo Da Vinci. No pentágono regular é possível inscrever uma estrela de cinco pontas, que coincide com as diagonais dessa figura. Cada uma dessas cinco diagonais é intersectada em dois pontos pelas outras diagonais, e cada um desses dois pontos divide a diagonal em dois segmentos, um maior e outro menor. Pois bem, a razão entre o segmento maior e o menor é idêntica à razão (ou proporção) entre o maior e a diagonal.

 

 Euclides chama-lhe a proporção da extrema e da média. No Parténon, parece ser possível reconhecer a secção dourada nas formas dos templos, isto é, na proporção entre a altura e a largura dos edifícios.

 

 

 

SISTEMAS NUMÉRICOS DE BASES DIFERENTES

 

 

  Base decimal  ( 10 )     Base binária ( 2 )            Base ternária ( 3 )              Base octal ( 8 )          Base hexadecial ( 16 )

 

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

2

10

2

2

2

3

11

10

3

3

4

100

11

4

4

5

101

12

5

5

6

110

20

6

6

7

111

21

7

7

8

1000

22

10

8

9

1001

100

11

9

10

1010

101

12

A

11

1011

102

13

B

12

1100

110

14

C

13

1101

111

15

D

14

1110

112

16

E

15

1111

120

17

F

16

10000

121

20

10

17

10001

122

21

11

18

10010

200

22

12

19

10011

201

23

13

20

10100

202

24

14

 

Nota: no sistema de base hexadecimal são integrados os signos A,B,C,D, E, F para completar o conjunto de numerais provenientes da base decimal e que são obviamente insuficientes em base 16. 

 

Alguns conceitos utilizados

 

Equação – A igualdade é Uma das noções mais básicas da matemática, porque resulta da compreensão imediatamente subsequente à compreensão da identidade. Reconhecendo A, reconhecemos que A=A. O princípio de identidade assim algébrica ou formalmente representado deixa-nos abstrair a noção de igualdade, representada pelo sinal =. Logo podemos também constatar que A = B, ou até que A = B + C, e que, assim sendo, A – B = C...

A equação é uma expressão matemática que formaliza uma relação de igualdade entre dois termos ou lados da expressão. Ambos os lados da expressão podem ser manipulados, segundo certas regras que garantem que tal igualdade não seja violada. Sabendo que a equação é uma relação de igualdade, os lados da expressão podem conter incógnitas, cujo valor pode ser calculado. O desenvolvimento da álgebra, da capacidade de abstrair e representar formalmente os valores e as operações conduziu ao desenvolvimento contínuo das equações, que foram classificadas segundo vários critérios, nomeadamente o número de incógnitas.

 

Identificação – é a atribuição de uma quantidade ou qualidade conhecidas a uma entidade desconhecida, para que assim esta passe a ficar conhecida. À quantidade ou qualidade conhecidas chamamos o identificador, à entidade, o identificado.

 

Identidade – Em lógica, a lei da identidade afirma que A = A. Esta afirmação (A=A) é considerada uma tautologia, isto é, afirma uma mesmidade. Em Metafísica, a aporia Platónica do Mesmo e do Outro foi desvalorizada por Aristóteles, que considerou inútil a questão: porque é que A é A? Os Escolásticos reforçaram essa inutilidade, promovendo-a a impossibilidade… Afirmaram eles que “a existência não é um predicado”, ou seja, a existência de A é um pressuposto necessário a que A possa ser predicado de, ou com, alguma coisa. A existência do sujeito que se predica é, portanto, uma evidência. Percebe-se então que, quando discutimos “a existência de extra-terrestres”, apenas discutimos as opiniões ou os testemunhos contraditórios sobre o tema. A discussão poderá apenas incidir sobre a maior ou menor veracidade ou credibilidade dessas opiniões ou testemunhos. Quanto à “existência”, propriamente dita, dos “extra-terrestres”, essa em nada depende da discussão … A existência não se prova, constata-se. Daí que o princípio da identidade seja uma tautologia, que apenas tem razão de ser numa análise prévia das condições de toda a lógica predicativa.

 

Mas já em Ética, a mesmidade desse sujeito A, ou a identidade do sujeito/agente, que se reconhece a si mesmo como tal, e a sua identificação pelos outros, é fundamental para a responsabilização ética desse sujieto/agente pelas acções praticadas. O agente responsável é, necessariamente, o mesmo, antes, durante e depois da acção, ou não haverá responsabilidade. Daí que, em certos casos, haja inimputabilidade (impossibilidade de acusar ou atribuir culpa) – quando o agente enlouquece, ou perde a sua memória, ou quando ainda não é detentor da sua total identidade (os menores de idade).

 

Medição – Medir é determinar a extensão, a dimensão ou a capacidade através de uma comparação, ou proporcionalidade. Para medir, necessitamos de uma escala, um padrão que defina a unidade de medição. Contrariamente à contagem, que nos dá um valor exacto, expresso num inteiro, dos objectos contados, a medição tem sempre um carácter de incerteza, devido à estimativa da razão entre a magnitude real do objecto a medir e a unidade de medição. Por exemplo, dizer que o lado de uma mesa tem 2 metros é uma estimativa. A mesa pode ter 2,0002340230 metros, se a medição for feita com um microscópio, e não a olho nu. A exactidão absoluta da medição não existe, por definição. Este foi um dos argumentos utilizados por Karl Popper para dessacralizar o “rigor científico” do verificacionismo positivista e propor o método mais humilde da refutabilidade das teses e teorias científicas.

 

 

Contagem– Contar é um dos gestos culturais mais antigos e profícuos da História. A contagem está vinculada a uma situação de variabilidade entre a abundância e escassez. A experiência destes dois extremos repete-se ininterruptamente, numa tensão vital cuja importância vem bem transcrita no Génesis. A abundância do Paraíso reflecte o estado natural da Criatura, daquele que reconhece a vida que recebeu, como uma dádiva, e nasce na total inocência da escassez que já pende sobre os seus progenitores. Uma vez nascido, o nascituro recebe os primeiros sinais da tensão entre uma abundância generosa, a do leite materno, que é o único paliativo para o desejo de alimento, essa surpreendente e dolorosa escassez, avara e inevitável, que é causada pela própria actividade física do recém-nascido.

A escassez de energia vital, que só o alimento compensa, vai obrigar à identificação desses dois extremos, a escassez sentida na fome, a abundância que traz a satisfação. A racionalização do número corresponde à compreensão do muito e do pouco, sub-categorias da quantidade, que se desdobram e obtêm representação cada vez mais exacta nos números. A contagem vai determinar o quanto, numa escala que oscila entre o muito e o pouco, nas suas variadas facetas. 

Com o desenvolvimento da teoria dos conjuntos, a contagem foi definida como o acto de determinar quantos elementos estão num conjunto. O conjunto de elementos contáveis é o conjunto dos números naturais, sendo zero o número de elementos do conjunto vazio.

Toda a computação ou cálculo é sinónimo de contagem, quando o resultado é finito e exacto, e de aproximação, ou medida, quando o não é...

 

 

Última actualização em 25/10/2006

 

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