O LOGARITMO

O logaritmo foi inventado no dealbar do século XVII.

Atribui-se normalmente a sua autoria a dois matemáticos, que os apresentaram quase ao mesmo tempo, o Suíço Joost Burgi, que chegou a ser assistente do astrónomo Kepler, e o Escocês John Napier que veio a ter como colega e colaborador o Inglês Henry Briggs.

Em termos simplificados, o logaritmo natural ou Naperiano constitue a generalização da relação entre a série aritmética (exemplo:-4, -3, -2, -1, 0 , 1 , 2 , 3, 4 ) e a série geométrica (um exemplo, na base 2: 2, 4, 8, 16, 32 ou 2¹, 2², 2³ , 2⁴ , 2⁵).

Assim, o logaritmo de n é o expoente ou poder x a que uma base b tem de ser elevada para resultar no numero n, ou seja: b^x = n.

Exemplo: 2³ = 8, o que pode ser denotado x = log_b n, ou , 3 = log₂ 8 .

Os logaritmos de base dez são designados por comuns, ou Briggsianos.

Os cientistas depressa adoptaram os logaritmos para simplificar cálculos morosos ou complicados, como seja a multiplicação de números com muito dígitos. Vejamos um exemplo simples: qual o valor do produto de m e n? Basta procurar os seus logaritmos na tabela, somá-los e procurar novamente na tabela o número (chamado antilogaritmo) correspondente ao logaritmo resultante da soma. Ou seja, log mn = log m + log n.

Exemplificando: quanto é 100 X 1.000 ?

Procuramos os logaritmos destes dois números, que são 2 ( 100 = 10² ) e 3 ( 1000 = 10³ ), e adicionamo-los, obtendo 5.

Resta depois procurar o antilogaritmo de 10⁵, que é 100.000, Eis o resultado da nossa questão!

É igualmente possível transformar divisões em subtracções. Além disto, pode-se simplificar também o cálculo de expoentes e raízes e os logaritmos podem também converter-se de uma base para outra ( exceptuando a base 1, uma vez que todos os seus expoentes continuam a ser iguais a 1…)

John Napier

Eis a tabela das leis dos logaritmos, para os mais curiosos:

Produtos : log_b mn = log_b m + log_b n

Razões : log_b m = log_b m - log_b n

ⁿ

Expoentes : log_b n^p = p log_b n

Raízes : log_b ^qÖ n = 1 log_b n

^q

Mudança de

Bases : log_b n = log_a n log_b a

É vulgar as tabelas de logaritmos apresentarem logaritmos de números entre 0 e 10.

Sempre que é necessário obter o logaritmo de um número fora deste limite, esse número deve primeiro escrever-se na sua notação científica, ou seja, denotando-o como o produto dos seus dígitos significativos e do seu poder exponencial.

Exemplo: 4600 seria escrito 4,6 × 10 ³;

Depois disto, pode-se encontrar na tabela a fracção decimal, entre 0 e 1, que constitui o logaritmo dos seus dígitos significativos, chamada mantissa.

Portanto, neste caso iríamos encontrar na tabela a seguinte mantissa:

log 4,6 @ 0,6628.

Resta antepor o inteiro do expoente, antes da vírgula, para obtermos o logaritmo do número original:

log 4,6 @ 3,6628

A capacidade de cálculo dos computadores actuais veio anular a grande utilidade das antigas tabelas de logaritmos, enquanto instrumentos de cálculo. Mas as propriedades dos logaritmos continuam a ser estudadas.

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Última actualização 20/10/2006